正5角12面体のミラー指数について

Category: 鉱物結晶図鑑  

正多面体の話題は、「結晶好き=その一部は数学好きな人」という推定の元に
入れたのですが、私の想像以上でした。

と言いますのは、武様とMM様から、正5角12面体のミラー指数について、
184頁に記述の{1 0 0.618}の0.618はφ(黄金比)と関連
する数字か?との質問を頂きました。
これに対しては、本にも書いていますように、Webにあった頂点座標から
面の法線ベクトル(ミラー指数)を求めて導いたので、良く判りませんでした。


今日、あらためてWebを探したところ、以下にφを使った頂点座標がありました。
http://www.h6.dion.ne.jp/~ooya/Suugaku/Seitamentai.pdf

これを使って、再度法線ベクトルを求めてみます。
まず、最初の面情報「P1 P2 P19 ・・・・」から、P2を共通頂点として
ベクトルA=P1-P2=(φ,φ-1,φ(φ-1))
ベクトルB=P19-P2=(0,-2,0)
を得ます。面の法線(ミラー指数)はベクトルの外積で求まります。
A×B=計算略=(2,0,-2φ)となります。
ミラー指数としては、例えば(2,2,0)は(1,1,0)と等価ですから
(2,0,-2φ)は(1,0,-φ)と等価になります。
これから、12面のミラー指数としては、{φ,1,0}であると判ります。

これは、一見、本の{1,0,0.618}と違うのですが、
{1,0,0.618}={1,0.618,0}={1,φ-1,0}={φ,φ(φ-1),0}
={φ,1,0} となり同じです。
念のため、結晶データの0.618の部分を全部1.618(φ)に変更しましたが、
正5角12面体のままでした。

それにしても、この黄金比φは、φ-1=1/φ、φ×φ=φ+1などの性質が有り、
不思議な数字です。
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 2013_07_04

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